Question

如图，已知椭圆C：（a＞0，b＞0）过点P（），上、下焦点分别为F₁、F₂，向量．直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点为m（）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线l的方程；

（3）记椭圆在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x²﹣2mx+y²+4y+m²﹣4=0与区域D有公共点，试求m的最小值．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．

分析：

（1）把点B代入椭圆的方程，利用向量垂直，及几何量之间的关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得；

（2）分类讨论，利用线段AB中点坐标，结合韦达定理，可求直线的方程；

（3）把圆的方程整理成标准方程求得圆心和半径，进而利用图象可知只须考虑m＜0的情形．设出圆与直线的切点，利用点到直线的距离求得m，进而可求得过点G与直线l垂直的直线的方程，把两直线方程联立求得T，因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为﹣1，2，所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，利用两点间的距离公式求得m的最小值．

解答：

解：（1）∵椭圆C：（a＞0，b＞0）过点P（），∴

∵向量，∴4c²=2+（﹣c）²+2+（﹣c）²，∴c=2

又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4

∴椭圆方程为

（2）①当斜率k不存在时，由于点M不是线段AB的中点，所以不符合要求；

②当斜率k存在时，设直线l方程为y+=k（x﹣），代入椭圆方程整理得

（3+k²）x²﹣（k²+3k）x+k²﹣=0

∵线段AB中点为m（），∴=

∴k=1

∴直线l：x﹣y﹣2=0

（3）化简曲线方程得：（x﹣m）²+（y+2）²=8，是以（m，﹣2）为圆心，2为半径的圆．

表示圆心在直线y=﹣2上，半径为2的动圆．

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．

当圆与直线相切时，，此时为m=﹣4，圆心（﹣4，﹣2）．

当m=﹣4时，过点G（﹣4，﹣2）与直线l垂直的直线l'的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（﹣2，﹣4）．

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为﹣1，2，

所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（﹣1﹣m）²+（﹣3+2）²=8，解得m_min=﹣﹣1．

点评：

本题考查椭圆与直线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查了知识的综合运用和数形结合的方法的应用．