Question

已知数列的前项和满足：，

（1）写出数列的前三项，，；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有

Answer 1

证明见解析

解析:

⑴由递推公式易求：a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：（n>1）

化简得：

,

故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.

故   ∴

∴数列{}的通项公式为：.

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，

，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，

 

                  

                  

                  

（2）当是奇数时，为偶数，

所以对任意整数，有。