Question

已知函数f（x）=|1-2^x|（x∈R）
（Ⅰ）当a≠b，且f（a）=f（b）时，求2^a+2^b的值．
（Ⅱ）当函数y=f（x）的定义域为[a，b]（b＞a＞0）时，其值域为[1，3]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（a）=f（b），建立方程关系，即可求出2^a+2^b的值．
（Ⅱ）利用函数的定义域，以及值域的关系，确定函数的单调性，解条件方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，
∴1-2^a=1-2^b或1-2^a=2^b-1，
即2^a=2^b或2^a+2^b=2，
∵a≠b，
∴2^a≠2^b，
∴2^a+2^b=2．
（Ⅱ）∵x＞0，∴f（x）=2^x-1．
又函数f（x）=2^x-1在（0，+∞）是增函数，
∴函数f（x）在[a，b]（b＞a＞0）上单调递增，
∵函数在[a，b]上的值域为[1，3]，
则

f(a)=1 f(b)=3

，
即

2a-1=1 2b-1=3

，
解得：

a=1 b=2

．
故a=1．b=2．

点评：本题主要考查与指数函数有关的综合问题，要使熟练掌握指数函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．（本题也可以使用数形结合来解决）．