Question

设{a_n}是等差数列，3a₅=8a₁₂＞0.数列{b_n}的通项b_n=a_na_n+1a_n+2,前n项之和为S_n，问S_n有没有最大值？若有，求出使S_n最大值的自然数n；若没有，请说明理由.

Answer 1

解：设{a_n}的公差为d，则3a₅=3a₁+12d=8a₁+88d,

∴a₁=-d.

由3a₅=3(a₁+4d)=3(-)d＞0,知d＜0.

从而a₁＞0.

a_n=a₁+(n-1)d=(-d).

令a_n≥0得1≤n≤16，

∴当1≤n≤16时，a_n＞0,

当n≥17时，a_n＜0.

∴当1≤n≤14时,b_n=a_na_n+1a_n+2＞0,

b₁₅＜0,b₁₆＞0.

当n≥17时，b_n＜0,

∴S_n的最大值是存在的，应该在S₁₄和S₁₆中找.

∵S₁₆-S₁₄=b₁₆+b₁₅=a₁₆a₁₇a₁₈+a₁₅a₁₆a₁₇

=a₁₆a₁₇(a₁₈+a₁₅),

a₁₆＞0,a₁₇＜0,

a₁₈+a₁₅=2a₁+31d=d＜0,

∴S₁₆＞S₁₄.

∴S_n的最大值存在，当n=16时，S_n最大.