Question

某项实验研究需要一种高标准的产品，对这种产品要检测A、B两项技术指标，各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p₁、p₂，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？

Answer 1

分析：（Ⅰ）有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，故有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

，又至少一项技术指标达标的概率为

11

12

，故有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

．由此能求出一件产品经过检测为合格品的概率．
（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，依题意知ξ～B(n，

1

2

)，所以Eξ=

1

2

n，为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100．由此能求出至少需要购进这种产品的件数．

解答：解：（Ⅰ）∵有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

∴有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

…①
又至少一项技术指标达标的概率为

11

12

∴有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

…②
联立①、②得

p1+p2-2p1p2= 5 12 p1+p2-p1p2= 11 12

解得：p1p2=

1

2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2=

1

2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，

1

2

)，
∴Eξ=

1

2

n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即

1

2

n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．

点评：本题考查概率的应用，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．本题对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．