Question

对于函数f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）探究函数f（x）的单调区间，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据题意，先求出f（x）的定义域，判断可得其定义域关于原点对称，进而将f（x）变形为f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函数的定义可得答案．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，对f（x₁）、f（x₂）做差可得f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，可得f（x）在（0，+∞）的单调性，结合函数的奇偶性，分析可得答案．

解答：解：（1）对于函数f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)，
必有a^x-1≠0，解可得x≠0，
则函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（x）=

1

ax-1

+

1

2

=

ax+1

2(ax-1)

，则f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，
又由f(-x)=-

(ax+1)

2(ax-1)

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数，
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，
因为0＜x₁＜x₂
①当0＜a＜1时，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
②当a＞1时，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
所以当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，对于奇偶性首先应该分析函数的定义域是否关于原点对称，对于单调性的判断一般用作差法．