题目内容

等比数列{an}为递增数列，且a4=
2
3
，a3+a5=
20
9
，数列bn=log3
an
2
（n∈N*）
（1）求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值；
（2）若Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1，求Tn的最小值．
（1）设等比数列的首项a1，公比为q
则由已知可得，a3(1+q2)=
20
9
，a3q=
2
3

两式相除可得，
1+q2
q
=
10
3

即3q2-10q+3=0
∴q=
1
3
或q=3
∵数列{an}为递增数列且a4=
2
3

∴q=3
∴an=a4•qn-4=
2
3
×3n-4=2•3n-5
∴bn=log3
an
2
=n-5
∴sn=
-4+n-5
2
•n=
n(n-9)
2

由bn≤0可得n≤5
（Sn）min=s4=s5=
-4×5
2
=-10
（2）∵b2n-1=2n-1-5
∴Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1=20+21+22+…+2n-1-5n
=
1-2n
1-2
-5n
=2n-5n-1
∴Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=Tn-Tn-1=2n-1-5＞0
∴n≥4
即有T1＞T2＞T3＜T4＜T5＜…
∴（Tn）min=T3=23-5×3-1=-8
练习册系列答案
相关题目
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2010的n的最小值．
（2012•石景山区一模）定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2011的n的最小值．
（2012•西城区二模）对数列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k-1+λ2an+k-2+…+λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；
②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
③若数列{an}的通项公式为an=n2，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（　　）
已知数列{an}的递推公式为
a1=2
an+1=3an+1
，bn=an+
1
2
（n∈N*），
（1）求证：数列{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（2012•石景山区一模）若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；
（Ⅱ）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（Ⅲ）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项和Sn．

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