题目内容

P为椭圆 $数学公式$ 上一点，F₁、F₂为左右焦点，∠F₁PF₂=90°
（1）若PF₁的中点为M，求证 $数学公式$ ；
（2）求△F₁PF₂的面积；
（3）求P点的坐标．

解：∵椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
∴a=5，b=3，可得c= $\text{[math]}$ =4

（1）∵△PF₁F₂中，O、M分别是PF₁、F₁F₂的中点
∴|OM|= $\text{[math]}$ |PF₂|，根据椭圆的定义得|PF₂|=10-|PF₁|
因此，|OM|= $\text{[math]}$ ；
（2）设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，则t₁+t₂=10①
又∵Rt△PF₁F₂中，利用勾股定理得 $\text{[math]}$ ②，
由①²-②，得t₁t₂=18
∴△F₁PF₂的面积S_△ $\text{[math]}$ ；
（3）设P（x，y），由S_△ $\text{[math]}$ ，
得4|y|=9，解之得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
将 $\text{[math]}$ 代入椭圆方程解，得 $\text{[math]}$ ，
∴P点的坐标为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆的方程，算出a=5、b=3且c=4，△PF₁F₂中利用中位线定理，结合椭圆的定义即可证出PF₁的中点M满足关系式 $\text{[math]}$ ；
（2）设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于t₁、t₂的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=18，结合直角三角形面积公式即可算出△F₁PF₂的面积；
（3）设P（x，y），根据△F₁PF₂的面积S_△ $\text{[math]}$ ，解出y=± $\text{[math]}$ ，再代入椭圆方程求出横坐标的值，即可得到P点的坐标．
点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积和直角顶点P的坐标，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．