Question

等差数列{a_n}的公差d∈（-1，0），且

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a2+a7)

=1，仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A．[

  4π

  3

  ，  

  3π

  2

  )
• B．(

  4π

  3

  ，  

  3π

  2

  ]
• C．(

  4π

  3

  ，  

  3π

  2

  )
• D．[

  4π

  3

  ，  

  3π

  2

  ]

Answer 1

分析：利用二倍角公式、和差化积，积化和差公式，化简条件，求出公差，再结合仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，可得a₉＞0，a₁₀＜0，利用等差数列的通项公式，即可确定首项a₁的取值范围．

解答：解：∵等差数列{a_n}，

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a2+a7)

=1，
∴

-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)

sin(a3+a6)

=1
∴

-cos2a3+ 1 2 (cos2a3+cos2a6)

sin(a3+a6)

=1
∴

-sin(a6-a3)sin(a3+a6)

sin(a3+a6)

=1
∴sin3d=-1
∵d∈（-1，0），∴3d=-

π

2

∴d=-

π

6

∵仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴a₉＞0，a₁₀＜0
∴a1-

4π

3

＞0，a1-

3π

2

＜0
∴

4π

3

＜a1＜

3π

2

故选C．

点评：本题考查二倍角公式、和差化积，积化和差公式，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．