题目内容

证明不等式··…·<（n∈N*）.

证法一：用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，<，不等式显然成立.

（2）假设n=k时不等式成立，即···…·<.

当n=k+1时，

··…··<·=

只需证<，

即证（2k+1）（2k+3）<（2k+2）2，

亦证4k2+8k+3<4k2+8k+4，

显然成立.

所以··…·<成立，

即n=k+1时，不等式成立.

由（1）（2）可知，对任意的正整数n，不等式均成立.

证法二：设An=··…·，

Bn=··…·.

∵<（n∈N*），

∴An<Bn.

∵An·Bn=····…··=，

又An2<An·Bn，∴An2<.

∴An<.

故有··…·<.

练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c∈R，证明不等式：a6+8b6+
127
c6≥2a2b2c2．
用数学归纳法证明不等式“
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
13
24
（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（　　）
A、增加了一项
1
2(k+1)
B、增加了两项
1
2k+1
+
1
2(k+1)
C、增加了两项
1
2k+1
+
1
2(k+1)
，又减少了一项
1
k+1
D、增加了一项
1
2(k+1)
，又减少了一项
1
k+1
设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：
x
1+x
＜ln(x+1)＜x；
（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-
1
a
＜g(a)＜0．
以下方法不能用于证明不等式的是（　　）
（1）证明不等式：若x，y＞0，则(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≥
9
9
；
（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
．

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