Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*，总有S_n=p（a_n-1），（p是常数，且p≠0，p≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}中，b_n=2n+c（c是常数），且a₁=b₁，a₂＜b₂，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把n=1直接代入求出数列{a_n}的首项a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出递推关系研究出数列{a_n}的 性质，根据性质求通项公式；
 （Ⅱ）由a₁=b₁=2+c，将a₂＜b₂ 消去c化为(

p

p-1

)2＜

p

p-1

+2，去解，令

p

p-1

=t进行换元．

解答：解：（Ⅰ）由题a₁=s₁=p（a₁-1）⇒a1=

p

p-1

（p≠0，p≠1），
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）⇒（p-1）a_n=pa_n-1，
即

an

an-1

=

p

p-1

（常数）．
所以{a_n}是以

p

p-1

为首项，

p

p-1

为公比的等比数列，
所以 an=

p

p-1

• (

p

p-1

) n-1= (

p

p-1

)n                  
（Ⅱ） a₁=b₁=2+c，c=a₁-2，a₂＜b₂ 即为(

p

p-1

)2＜

p

p-1

+2，令

p

p-1

=t．则
t²-t-2＜0，-1＜t＜2．∴

p p-1 ＞-1 p p-1 ＜2

∴

p+(p-1) p-1 ＞0 p-2(p-1) p-1 ＜0

得

p＜ 1 2 或p＞1 p＜1或p＞2

∴p＜

1

2

或p＞2．

点评：本题考查Sn与a_n关系的具体应用，等差数列的定义、通项公式，分式不等式的解法．考查消元、换元的方法、及逻辑思维能力．