Question

下面是关于圆锥曲线的四个命题：
①抛物线y²=2px的准线方程为y=-

p

2

；
②设A、B为两个定点，a为正常数，若

|PA|

+

|PB|

=2a，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④平面内与定点A（5，0）的距离和定直线l：x=

16

5

的距离之比为

5

4

的点的轨迹方程为

x2

16

-

y2

9

=1．其中所有真命题的序号为

③④

．

Answer 1

分析：对于①利用抛物线的标准形式即可得到其准线方程．对于②利用椭圆的定义即可进行判断；对于③结合椭圆和双曲线的离心率的取值范围即可求解；对于④，利用动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线x=

16

5

的距离的比是

5

4

可得方程，化简由此能求出轨迹M的方程．

解答：解：①抛物线y²=2px的准线方程为x=-

p

2

；故①错；
②根据椭圆的定义，只有当P到两定点A、B距离之和大于|AB|即2a＞|

PA

|+|

PB

|时，动点P的轨迹为椭圆．②假命题
③方程2x²-5x+2=0的两根是x=

1

2

＜1，可作为椭圆的离心率；x=2＞1可双曲线的离心率．③真命题
对于④，由题意，设P（x，y），则

(x-5)2+y2

(x- 16 5 )2

=

25

16

，化简得轨迹方程是 

x2

16

-

y2

9

=1，正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查了椭圆、双曲线的定义标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查轨迹方程的求法，属于基础题．