Question

（本小题满分14分）已知函数，

（Ⅰ）求的单调区间；（友情提示：）

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）当取什么值时，存在一次函数，使得对任意都有

，并求出的解析式.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）       ……2分

①当时，

②当时，

所以，当时，的单调递减区间为，递增区间为

当时，的单调递减区间为，无递增区间   ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上为增函数，

所以，当时，，即，

所以，                      ……7分

所以，

即当时，                       ……9分

（Ⅲ）设，因为，所以要使，

则直线必为和在点处的公共切线，

由，得在点处的切线方程为，即

又由，得                                  ……11分

下面证明：

设，由（Ⅰ）知，在上单调递减，

在上单调递增，所以，即，

又，即，

所以，当时，存在一次函数，使得对任意都有

         …… 14分