Question

【题目】如下图，已知点是离心率为的椭圆： 上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线， 的斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得， 及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.

试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，

，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，又， ， 三点不重合，∴，

设， ，

由得，

所以，解得，

，①

，②

设直线， 的斜率分别为， ，

则 （），

分别将①②式代入（），

得，

所以，即直线， 的斜率之和为定值．