题目内容
【题目】已知函数f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0， 
）上无零点，求a的最小值．
【答案】
（1）解：f′（x）=3﹣a﹣ 
= 
，
当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；
当a＜3时，令f′（x）=0，得x= 
，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，
则 ≤1或 ≥3，解得：a≤1或 
≤a＜3，
综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[ ，+∞）
（2）解：x→0时，g（x）→+∞，
∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在区间（0， 
）上恒成立不可能，
故要使函数g（x）在（0， ）无零点，只需对任意的x∈（0， ），g（x）＞0恒成立，
即对x∈（0， ），a＞2﹣ 
恒成立，
令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），
则l′（x）= 
，
令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），
则m′（x）= 
＜0，
故m（x）在（0， ）上递减，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0， ）递增，
∴l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣ 恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为对x∈（0， 
），a＞2﹣ 
恒成立，令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧
,那么
是极小值)的相关知识才是答题的关键．
