题目内容
已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，则AB上的点P到AC、BC的距离的乘积的最大值是________．
3
分析：设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知
=
，整理求得 y=
，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．
解答：
解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，=，
即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=12-3y，y=
求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
xy=x•=-
（x2-3x），当x=
时，xy有最大值3
故答案为3．
点评：本题主要考查了解三角形的问题．考查了学生转化和化归思想，函数思想的运用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
分析：设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知
=，整理求得 y=，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．解答：
解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，=，即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=12-3y，y=
求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
xy=x•
=-（x2-3x），当x=时，xy有最大值3故答案为3．
点评：本题主要考查了解三角形的问题．考查了学生转化和化归思想，函数思想的运用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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