Question

在各棱长均为1的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,

(1)求BC₁与侧面ABB₁A₁所成角的正切值;

(2)如果M为CC₁的中点,求截面AB₁M与底面所成角的大小.

Answer 1

解析:(1)如图,取A₁B₁的中点D,连结BD、DC₁,

∵A₁C₁=B₁C₁,∴C₁D⊥A₁B₁.

由ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱,

∴B₁B⊥C₁D.∴C₁D⊥侧面AA₁B₁B.

∴∠DBC₁为BC₁和侧面ABB₁A₁所成的角,DC₁=,DB= .

∴tan∠DBC₁=DC₁∶DB=.

(2)如图,∵△ABC是△AB₁M在底面上的射影,

∴cosα=S_△ABC∶,取AB₁的中点N,连结DN,

∵DNA₁A,而A₁ACC₁,

∴DNCC₁.又∵M为CC₁的中点,

∴DNC₁M.∴C₁DMN.

又∵C₁D⊥面AB₁,∴MN⊥平面AB₁且MN=.

∴=AB₁·MN=.而S_△ABC=.

∴cosα=.∴α=45°.