Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜1-

1

2n

．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知直线l的斜率k=f′(1)=

1

1

=1，
∵f（1）=0，故直线l与函数f（x）的图象的切点坐标是（1，0），
∴直线l的方程为y=x-1；
又∵直线l与g（x）的图象也相切，
∴由

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

得x²+2（m-1）x+9=0，
令△=（m-1）²-9=0，∵m＜0
∴解得m=-2；

（II）∵g'（x）=x+m=x-2，
∴h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
令h'（x）＞0，解得-1＜x＜0，令h'（x）＜0，解得x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；

（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，h（x）≤2，即ln（x+1）-x+2≤2，
∴当x＞-1时，ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立，
∵

1

2n

＞0，故ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，
∴ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．