Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率

2 3

3

，且过点P(

6

，1)．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把点P代入双曲线方程，求得a和b的关系，进而根据离心率联立方程求得a和b，双曲线方程可得．
（II）直线与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0，求得k的范围．设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），根据韦达定理可求得x．_A+x_B和x_Ax_B的表达式，根据

OA

•

OB

＞2，求得k的另一个范围，最后综合可得答案．

解答：解：（I）由已知e=

c

a

=

2 3

3

，
∵双曲线过点P(

6

，1)，
∴

6

a2

-

1

b2

=1．
又c²=a²+b²，
可解得a²=3，b²=1．
所求双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（II）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠

1

3

且k2＜1．①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA+xB=

6 2 k

1-3k2

，xAxB=

-9

1-3k2

，
由

OA

•

OB

＞2，得xAxB+yAyB＞0．
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+

2

)(kxB+

2

)=(k2+1)xAxB+

2

k(xA+xB)+2
=(k2+1)•

9

3k2-1

-

2

k•

6 2

3k2-1

+2=

-3k2+9

3k2-1

+2＞2，
于是

-3k2+9

3k2-1

＞0
可得

1

3

＜k2＜3．②
由①，②得

1

3

＜k2＜1．
故k的取值范围为(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和平面向量数量积得运算．考查了学生解决问题的能力和基本的运算的能力．