Question

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x²+2x+a，由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；
（2）x₂是方程g（x）=0的根，将a用x₂表示，消去a得到关于x₂的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．

解答：解：（I）f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

(x＞-1)
令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x=-

1

2

．
由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

，得0＜a＜

1

2

（1）当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；
（2）当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；
（3）当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x2＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x＞-

1

2

)，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）当x∈(-

1

2

，0)时，h'（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0)单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当x∈(-

1

2

，0)时，h(x)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

故f(x2)=h(x2)＞

1-2In2

4

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题．