Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₁，a₂，a₅成等比数列建立关于a₁与d的等式，以及a₃=5，可求出a₁与d的值；
（2）由b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an可得当n≥2时，b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1=an-1，两式作差即可求出数列{b_n}的通项，注意考虑n=1时的情况，最后根据等比数列的求和公式进行求解即可．

解答：解：（1）由a₃=5，得a₁+2d=5；由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a1(a1+4d)=(a1+d)2，
其中d≠0，解得a₁=1，d=2，所以，a_n=2n-1．
（2）由b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，①
当n=1时，b₁=a₁=1；
当n≥2时，b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1=an-1，②
①-②得 2^n-1b_n=a_n-a_n-1=2，得bn=22-n，所以，bn=

1，n=1 22-n，n≥2

当n=1时，S₁=b₁=1；
当n≥2时，Sn=1+1+

1

2

+

1

22

+

1

22-n

=3-2^2-n．
综上，S_n=3-2^2-n．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比数列及其前n项和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．