Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解．
其中真命题的个数是

0

个．

Answer 1

分析：本题利用特殊法处理，根据已知条件，适当取特殊函数一一验证：对于①可取a=-1，b=0，c=-1，则f（x）=-x²-1，无零点；对于②可取a=1，b=0，c=0，即f（x）=x²，有且只有一个零点；对于③可取a=1，b=1，c=

3

16

，方程f（x）=0有两个不等实根-

1

4

，-

3

4

．

解答：解：已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
对于①，若取a=-1，b=0，c=-1，则f（x）=-x²-1，无零点，但g（x）=-（-x²-1）²-1＜0对?x∈R成立，故①错；
②若f（x）=x²，有且只有一个零点，则g（x）=（x²）²=x⁴没有两个零点，故②错；
③若取a=1，b=1，c=

3

16

，方程f（x）=0有两个不等实根-

1

4

，-

3

4

，而方程g（x）=[f（x）]²+[f（x）]+

3

16

?f（x）=-

1

4

或f（x）=-

3

4

，无解，故③错．
∴其中真命题的个数是0．
故答案为 0

点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点等基础知识，考查函数方程不等式的思想方法