Question

19．已知复数z₁满足（z₁+3）（1-2i）=8+4i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为-3，若z₁•z₂是纯虚数．
（1）求z₁和z₂；
（2）若复数|z|=2，求|z-z₂|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由（z₁+3）（1-2i）=8+4i求出${z}_{1}=\frac{8+4i}{1-2i}-3$，然后利用复数代数形式的除法运算化简则z₁可求．
设z₂=a-3i，a∈R，再由z₁•z₂是纯虚数得到实部等于零虚部不等于零，求出a的值，则z₂可求．
（2）设出z=x+yi，（x，y∈R），再由|z|=2，求出|z-z₂|的值，几何意义是复数z对应的点Z（x，y）到复数
z₂对应的点Z₂（4，-3）的距离，然后数形结合易知|z-z₂|的最大值是OZ₂+2，|z-z₂|的最小值是OZ₂-2，又OZ₂=5，即可求出|z-z₂|的取值范围．

解答 解：（1）由（z₁+3）（1-2i）=8+4i，
得${z_1}=\frac{8+4i}{1-2i}-3=\frac{（8+4i）（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}-3=\frac{{8+16i+4i+8{i^2}}}{5}-3=4i-3=-3+4i$．
设z₂=a-3i，a∈R，则z₁•z₂=（-3+4i）（a-3i）=（12-3a）+（4a+9）i，
∵z₁•z₂是纯虚数，
∴12-3a=0，4a+9≠0，∴a=4．
∴z₂=4-3i．
（2）设z=x+yi，（x，y∈R），$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2$，x²+y²=4，
$|z-{z_2}|=|x+yi-4+3i|=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{{（y+3）}^2}}$，
几何意义是复数z对应的点Z（x，y）到复数z₂对应的点Z₂（4，-3）的距离，
而Z（x，y）满足x²+y²=4，点Z（x，y）在以原点为圆心，2为半径的圆上，
数形结合易知|z-z₂|的最大值是OZ₂+2，|z-z₂|的最小值是OZ₂-2，又OZ₂=5，
∴|z-z₂|取值范围是[3，7]．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的运用，是基础题．