题目内容

如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=
π
2
，PC⊥平面ABCD，点E为AB中点．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=
3
；
（1）求直线PC与平面PDE所成的角；
（2）求点B到平面PDE的距离．
分析：（1）建立空间坐标系c-xyz，分别求出直线PC的方向向量与平面PDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线PC与平面PDE所成的角；
（2）根据（1）中平面PDE的法向量，设点B到平面PDE的距离为d，代入点到平面距离公式d=
|
BP
•
n
|
|
n|
，即可求出点B到平面PDE的距离．
解答：解：如图建立空间坐标系c-xyz
设BC=a，则A（1，
3
，0），D（0，
3
，0），B（a，0，0），E（
a+1
2
，
3
2
，0），P（0，0，2）
CA
=（1，
3
，0），
DE
=(
a+1
2
，-
3
2
，0）
∵AC⊥DE
∴1×
a+1
2
+
3
×(-
3
2
)+0=0，即a=2．
∴E（
3
2
，
3
2
，0）
设平面PDE的一个法向量
n
=（x，y，z），
PD
=(0，
3
，-2），
DE
=（
3
2
，-
3
2
，0），
则
n
⊥
PD
，
n
⊥
DE
，即
3
y-2z=0
3
2
x-
3
2
y=0
，
令x=2，得y=2
3
，z=3，所以
n
=（2，2
3
，3）．
设直线PC与平面PDE所成的角为θ
∵
CP
=（0，0，2），
∴sinθ=|cos＜
n
，
CP
＞|=
6
4+12+9
×2
=
3
5
，
∴cosθ=
4
5
．
故直线PC与平面PDE所成的角为arccos
4
5

（2）
BP
=（-2，0，2）
设点B到平面PDE的距离为d，
则d=
|
BP
•
n
|
|
n|
=
|-2×2+2×3|
4+12+9
=
2
5
．
即点B到平面PDE的距离为
2
5
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，点到平面的距离，其中建立适当的空间坐标系，线面夹角及点到平面距离问题，转化为向量夹角或向量求模问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求三棱锥P-MBD的体积．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB中点．
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

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