Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=

1

an2-1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n项和公式．
（2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法--裂项法，注意解题过程中项数不要出错．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

•(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键．是每年要考的一道高考题目．