题目内容

设二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).已知对任意的α、β∈R时,恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0成立.

(1)求证:b+c=-1;

(2)求证:c≥3;

(3)若函数f(sinα)的最大值为8,求b、c的值.

答案：(1)证明:∵-1≤sinα≤1,且f(sinα)≥0恒成立,

∴f(1)≥0.

∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立,

∴f(1)≤0.从而f(1)=0.

∴1+b+c=0.

∴b+c=-1.

(2)证明:∵b+c=-1,

∴b=-1-c.

∴f(x)=x2+(-1-c)x+c=(x-1)(x-c).

∵当1≤x≤3时,f(x)≤0,

即(x-1)(x-c)≤0恒成立,

∴x-c≤0,即c≥x恒成立.

∴c≥xmax=3.

(3)解:f(sinα)=sin2α+(-1-c)sinα+c

=(sinα)2+c-()2.

当sinα=-1时,f(sinα)max=2c+2.

与1+b+c=0联立解得b=-4,c=3.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
8
)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
1
1
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-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
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-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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1
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-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
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-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当an∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(
1
2
-an)+lg2}是等比数列．

设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为(    )

A.正数          B.负数   　　C.非负数              D.正数、负数和零都有可能

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