Question

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为______．

Answer 1

∵直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N
∴M（a²，a），N（lna，a）
∴线段MN长l=|a²-lna|
由题意可知a＞0，设f（a）=a²-lna，f'（a）=2a-

1

a

令f'（a）＞0，a＞

2

2

；令f'（a）＜0，a＜

2

2

故f（

2

2

）为函数f（a）的最小值，并且f（

2

2

）＞0
所以a=

2

2

时，线段MN长取得最小值
故答案为：

2

2