Question

（2012•肇庆二模）数列{a_n}的前n项和记为S_n，点（n，S_n）在曲线f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=(an+5)•2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得Sn=n2-4n，利用递推公式当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁，可求                         
（2）由bn=(an+5)•2n-1得bn=n•2n，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和

解答：解：（1）由点（n，S_n）在曲线f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）知Sn=n2-4n，（1分）
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-[（n-1）²-4（n-1）]=2n-5；     （4分）
当n=1时，a₁=S₁=-3，满足上式；                         （5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5（6分）
（2）由bn=(an+5)•2n-1得bn=n•2n（7分）
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n①（8分）
上式两边乘以2，得2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1②（9分）
①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1（10分）
∴-Tn=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
即Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和的重要方法，要注意掌握