Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．
（1）求W的方程；
（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据△ABC的周长为，|AB|=2，利用椭圆的定义可得动点C的轨迹，从而可得W的方程；
（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y²=4x与曲线W：的交点，联立方程，求得交点即可．
解答：解：（1）设C（x，y），∵，
∴…（3分）
∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
∴，∴b²=a²-c²=1…（5分）
∴W的方程：…（6分）
（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y²=4x与曲线W：的交点，
由，消去y得：x²+8x-2=0…（9分）
解得（舍去）                                …（11分）
由代入抛物线的方程得…（13分）
所以存在两个点和满足题意．…（14分）
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查曲线的交点，考查学生的计算能力，属于中档题．