Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的图象过点（0，2a），且在该点处切线的倾斜角为45°
（1）用a表示b，c；（2）若f（x）在[2，+∞）上为单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，再利用条件图象过点（0，2a），且在该点处切线的倾斜角为45°，可得

f/(0)=b-c=1 f(0)=2a

，从而问题得解．
（2）解决单调性用导数，函数f（x）在[2，+∞）上为单调递增函数，即f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．

解答：解：（1）f′（x）=-[ax²+（b-2a）x+c-b]e^-x
由已知得：

f/(0)=b-c=1 f(0)=2a

，∴

c=2a b=1+2a

（2）由（1）得f′（x）=-（ax²+x-1）e^-x
∵f（x）在[2，+∞）上为单调递增函数，则f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．
即ax²+x-1≤0对x∈[2，+∞）恒成立．即a≤

1-x

x2

对x∈[2，+∞）恒成立．
令y=

1-x

x2

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，∵x≥2，∴0＜

1

x

≤

1

2

，∴y的最小值为-

1

4

，∴a≤-

1

4

，
故a的取值范围(-∞，-

1

4

]．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的处理等知识，考查运算求解能力，属于中档题．