题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求f（x）+f（1-x）及 $数学公式$ 的值；
（2）是否存在自然数a，使 $数学公式$ 对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较 $数学公式$ 和lg（n！）（n∈N）的大小．

解：（1）f（x）+f（1-x）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=1．
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=4+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（2）假设存在自然数a，使 $\text{[math]}$ 对一切n∈N都成立．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ，
当a=1，2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．
当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时， $\text{[math]}$ =2n²+1＞n²成立，
则 3ⁿ＞n²对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²? $\text{[math]}$ （n∈N），
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，
相乘得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞lgn!成立．
分析：（1）f（x）+f（1-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$ ，由此能求出其结果．
（2）假设存在自然数a，使 $\text{[math]}$ 对一切n∈N都成立．由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，由此能够证明存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²? $\text{[math]}$ （n∈N），所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，由此能比较 $\text{[math]}$ 和lg（n！）（n∈N）的大小．
点评：本题考查不等式的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．