题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （2分）
（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
令y=-1，得 $\text{[math]}$ （4分）
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，（5分）
$\text{[math]}$ ，BF?平面AEC，
∴BF∥平面AEC．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ 为平面ACD的法向量，（8分）
而 $\text{[math]}$ ，（11分）
故二面角E-AC-D的余弦值为 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A-xyz，设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设平面AEC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能够证明BF∥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 为平面ACD的法向量，能求出二面角E-AC-D的余弦值．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．