题目内容
【题目】已知函数 
（a＞0）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）在 
上是减函数 
，在上是增函数，并写出当x＜0时f（x）的单调区间；
（2）已知函数 
，函数g（x）=﹣x﹣2b，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，求实数b的取值范围．
【答案】
（1）证明：当x＞0时，
①设x1，x2是区间 
上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 
= 
=（x1﹣x2） 
，
∵x1，x2∈ ，且x1＜x2，
∴0＜x1x2＜a，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在 上是减函数，
②同理可证在f（x）在 
上是增函数；
综上所述得：当x＞0时，f（x）在 上是减函数，在 上是增函数．
∵函数 
是奇函数，根据奇函数图象的性质可得，
当x＜0时，f（x）在 
是减函数，在 
是增函数
（2）解：∵ 
（x∈[1，3]），
由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上单调递减，[2，3]上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=﹣4，h（x）max=maxh（3），h（1）=﹣3，
h（x）∈[﹣4，﹣3]，
又∵g（x）在[1，3]上单调递减，
∴由题意知，[﹣4，﹣3][﹣3﹣2b，﹣1﹣2b]，
于是有： 
，解得 
．
故实数b的范围是
【解析】（1）利用函数单调性的定义可证明x＞0时的单调性，根据奇函数性质可求x＜0时f（x）的单调区间；（2）对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，等价于h（x）的值域为g（x）值域的子集，利用函数单调性易求两函数值域；
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
