Question

已知函数f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1(ω＞0，x∈R)，且函数f（x）的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）昀图象向右平移

π

6

个单位，得到函数了y=g（x）的图象，求函数y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的解析式；
（Ⅱ）由第一问确定的f（x）解析式，根据平移规律“左加右减”表示出g（x），利用x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求出g（x）的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1
=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

ω

=π；
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（Ⅱ）依题意，将函数f（x）昀图象向右平移

π

6

个单位，
得到函数g（x）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）-1=2sin（2x-

π

6

）-1的图象，
函数g（x）的解析式g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1．
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1
函数y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域为[-2，1]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的平移规律，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．