题目内容

已知数列{a_n^}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求数列的前三项a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列 $数学公式$ 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a_n通项公式．

解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₄=2a₃+2⁴-1=81?a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则 $\text{[math]}$ 必为与n无关的常数
∵ $\text{[math]}$ （5分）
要使 $\text{[math]}$ 是与n无关的常数，则 $\text{[math]}$ ，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列 $\text{[math]}$ 为等差数列（8分）
由（2）知数列 $\text{[math]}$ 的公差d=1，∴ $\text{[math]}$
得a_n=（n+1）•2ⁿ+1（13分）
分析：（1）直接把n=3，2，1代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₄=81，即可求出数列的前三项；
（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到 $\text{[math]}$ 必为与n无关的常数，整理 $\text{[math]}$ 即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决第二问的关键在于由数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，得到 $\text{[math]}$ 必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．