题目内容

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；
若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，则a=
1
2
1
2
．
分析：先根据
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数
f(x)
g(x)
=ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．
解答：解：由
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
得a1+a-1=
5
2
，
所以a=2或a=
1
2
．
又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）-f'（x）g（x）＞0，也就是[
f(x)
g(x)
]′=-
f(x)g′(x)-g(x)f′(x)
g2(x)
＜0，说明函数
f(x)
g(x)
=ax是减函数，
即0＜a＜1，故a=
1
2
，故a=
1
2
．
故答案为
1
2
点评：本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）=axg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，在有穷数列{
f(n)
g(n)
}，(n=1，2，…，10)中任取前k项相加，则前k项和大于
15
16
的概率为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=ax•g（x），（a＞0且a≠1）
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，令an=
f(n)
g(n)
，则使数列{an}的前n项和Sn超过
15
16
的最小自然数n的值为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，对于有穷数列
f(n)
g(n)
=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于
15 
16
的概率是（　　）
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）=g（x）ax（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，则a的值为
1
2
1
2
．
已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范围．
（3）设h-1（x）是h（x）=log2x的反函数，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范围．

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