Question

定义在实数R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据函数的奇偶性以及x≥0的解析式求出x＜0的解析式，因为函数定义在R上，所以函数是分段函数，写出各段的解析式，用大括号连接即可．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中所求函数解析式，求出函数在每段上的最大值，其中最大的就是函数f（x）的最大值，再由函数两段上的图象都是开口向下的抛物线，结合对称轴就可求出函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=）=-4（-x）²-8x-3=-4x²-8x-3．
又∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=）=-4x²-8x-3．
∴f（x）=

-4x2+8x-3    (x≥0) -4x2-8x-3     (x＜0)

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3，图象为对称轴是x=1，开口向下的抛物线，当x=1时f（x）有最大值为1
当x＜0时，f（x）=-4x²-8x-3，图象为对称轴是x=-1，开口向下的抛物线，当x=-1时f（x）有最大值为1
∴f（x）的最大值是1．
函数单调增区间为（-∞，-1]，和[0，1]，单调减区间为[-1，0]，和[1，+∞）

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，以及分段函数的最值，单调区间的求法．