Question

一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列｛a_n｝，对于任意正整数n，当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=．

（1）试写出该数列的前6 项；

（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？

（3）求该数列的前2ⁿ项的和T_n．

Answer 1

解：（1）a₁=1，a₂=1，a₃=3，a₄=1，a₅=5，a₆=3．     

（2）第1个5出现在第5项，第2个5出现在第2×5=10项，第3个5出现在第2²×5=20项，第4个5出现在第2³×5=40项，依次类推．

第10个5是该数列的第2⁹×5=2560项．             

（3）T_n= a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋…＋

       =（a₁＋a₃＋a₅＋…＋ ）＋（a₂＋a₄＋a₆＋…＋）

       =（1+3+5+7+…+（2ⁿ－1）＋（a₁＋a₂＋a₃＋…＋ ）

       =4^n－1＋T_n－1    （n≥ 2）                        

用累加法得：T_n=T₁＋4＋4²＋…＋4^n－1=  （n ≥ 2）

当n=1时，T₁=2=

∴对一切正整数n都有T_n= ．