Question

 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．

   （Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

   （Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

   （Ⅰ）解：因为点B与点A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）

    设点P的坐标为

    由题意得，

    代简得

    故动点P的轨迹方程为

   （Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为

    则直线AP的方程为，

    直线BP的方程为

    令得

    于是的面积

   

    又直线AB的方程为

    点P到直线AB的距离

    于是的面积

   

    当时，得

    又

    所以，解得

    因为，所以

    故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为

    解法二：故存在点P使得与的面积相等，

    设点P的坐标为

    则

    因为，

    所以

    所以

    即，解得

    因为，所以。

    故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为