Question

【题目】对定义域分别是、的函数，，一个函数：.

（Ⅰ）若，，写出函数的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当，时，若函数有四个零点，分别为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2);(3).

【解析】分析：（I）可分和两种情况得到分段函数；（Ⅱ）根据不等式恒成立，可将不等式表示为，即，将问题转化为求分段函数的最大值；（Ⅲ）因为函数与的定义域没有交集，所以分或两种情况得到函数，再根据函数图像的对称性和对数的运算得到特征求得 ，将表示为，利用函数特征求取值范围.

详解：（Ⅰ）由于 ，，依题意可得

当时，

；

当时，，

所以.

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得时，，

当，，

的最大值为．

又恒成立， 恒成立，等价于．

实数的取值范围是．

（Ⅲ）依题意可得

不妨设，结合图像知，且，，

由得，所以，且，

当时递增，所以，

故的取值范围是．