Question

17．（本小题满分14分）

     如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，AB=1，E是DD₁的中点。

     （Ⅰ）求证：B₁D⊥AE；

     （Ⅱ）求二面角C—AE—D的大小。  （Ⅲ）求

二面角C—AE—D的大小。

Answer 1

解法一：

（1）证明：

连结.

是正四棱柱，

平面,

是在平面上的射影，

,

根据三垂线定理得，.      ……………5分

（II）解：

设,连结.

平面,且,

根据三垂线定理得,又,

是二面角的平面角.                     ……………9分

在中，由，得°.       ……………12分

°-°=°，

即二面角的大小是°.                        ……………13分

解法二：

是正四棱柱，

、、两两互相垂直.

如图，以为原点，直线,,分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系.                             ……………1分

，,,,.          ……………3分

（I）证明：

,  ,

,

.             ……………6分

（II）解：

连结,设,连结.

平面,且,

,

是二面角的平面角.  ………9分

底面是正方形     ,    ,

,

,                   ……………12分

二面角的大小是°.                  ……………13分