Question

19.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小.

Answer 1

 

解法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.

又tan∠ABD=,tan∠BAC==,

∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.

∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.

又PA∩AC=A,

∴BD⊥平面PAC.

(2)连结PE,

∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE.

∴∠AEP为二面角P－BD－A的平面角.

在Rt△AEB中，AE=AB·sin∠ABD=,

∴tan∠AEP==.∴∠AEP=60°.

∴二面角P－BD－A的大小为60°.

解法二：(1)如图，建立坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),

∴=(0,0,3), =(2,6,0), =(－2,2,0).

∴·=0, ·=0.

∴BD⊥AP,BD⊥AC.

又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.

(2)取平面ABD的法向量为m=(0,0,1),

设平面PBD的法向量为n=(x,y,1),

则n·=0,n·=0,

∴解得

∴n=(,,1).

∴cos〈m,n〉==.

∴二面角P－BD－A的大小为60°.