Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}是等比数列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128(其中n=1，2，3，…)．

(Ⅰ)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a_n}的公差为d，

则

∴故a_n=2n-1(n=1，2，3，…)．

设等比数列{b_n}的公比为q，

则∴b₃=8，q=2．

∴b_n=b₃·q^n-3=2ⁿ(n=1，2，3，…)．

(Ⅱ)∵c_n=(2n-1)2ⁿ，

∴T_n=2+3·2²+5·2³+…+(2n-1)·2ⁿ，

2T_n=2²+3·2³+5·2⁴+…+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹．

作差：

-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-(2n-1)·2ⁿ⁺¹=2+=2+2³(2^n-1-1)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹=-6-(2n-3)2ⁿ⁺¹． 

∴T_n=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6(n=1，2，3，…)．