Question

15．在圆x²+y²-4x-4y-2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 10$\sqrt{2}$
• C． 15$\sqrt{2}$
• D． 20$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x-2）²+（y-2）²=10，
则圆心坐标为（2，2），半径为$\sqrt{10}$，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2$\sqrt{10}$，MB=$\sqrt{10}$，ME=$\sqrt{（2-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以BD=2BE=2$\sqrt{5}$，
又AC⊥BD，
所以四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×2$\sqrt{5}$=10$\sqrt{2}$．
故选B

点评 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．