Question

已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a，(a∈R)
（I）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）最大值为4，求a的值；
（II）在（I）的条件下，求满足f（x）=1且x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+1+a，根据x∈[0，

π

2

]时，f（x）取得最大值为4，求得a的值．
（II）在（I）的条件下，由f（x）=1求得 2sin（2x+

π

6

）=-

1

2

．由于x∈[-π，π]，可得 2x+

π

6

∈[-

11π

6

，

13π

6

]，求得 2x+

π

6

的值，即可求得x的值的集合．

解答：解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
若x∈[0，

π

2

]，则 （2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，∴当（2x+

π

6

）=

π

2

时，f（x）取得最大值为4=3+a，∴a=1．
（II）在（I）的条件下，由f（x）=1可得 2sin（2x+

π

6

）+2=1，∴2sin（2x+

π

6

）=-

1

2

．
由于x∈[-π，π]，∴2x+

π

6

∈[-

11π

6

，

13π

6

]，∴2x+

π

6

=-

5π

6

，-

π

6

，

7π

6

，

11π

6

，
解得 x=-

π

2

，-

π

6

，

π

2

，

5π

6

．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，根据三角函数的值求角，属于中档题．