Question

已知函数．
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a、b，（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]，值域是，若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴＞0．
∴1-=-（1-），∴2=+＞2，∴＜1，∴ab＞1．
（2）由函数y=f（x）的定义域是[a，b]，值域是，
当1≤a＜b 时，可得=1-在[a，b]上是增函数，故有 1-=a，1-= b，
解得 a=，b=．
当0＜a＜b≤1时，可得=-1 在[a，b]上是减函数，故有=，=，
解得 a=，b= （不合题意舍去）．
当0＜a＜1＜b时，函数y=f（x）在定义域[a，b]上的最小值为0，根据值域是，
可得=0，a=0 （不合题意舍去）．
综上，存在a=，b=满足条件．
分析：（1）根据条件可得1-=-（1-），即2=+，利用基本不等式可得＜1，从而得到ab＞1．
（2）当1≤a＜b 时，可得=1-在[a，b]上是增函数，故有 1-=a，1-= b，解出a、b的值．
当0＜a＜b≤1时，可得=-1 在[a，b]上是减函数，故有=，=，解得a、b 无解．
当0＜a＜1＜b时，函数y=f（x）在定义域[a，b]上的最小值为0，根据值域是，解得a、b 无解．
点评：本题主要考查求函数的定义域、值域，带绝对值的函数，体现了分类讨论的数学思想．