题目内容

若关于x的方程f（2008+x）f（a-x）=0恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a的值为
-2010
-2010
．
分析：由函数的性质可得f（2008+x）与f（a-x）关于x=-
2008+a
2
轴对称，从而可得所有根的平均数是-
2008+a
2
，代入可求a
解答：解：∵f（2008+x）与f（a-x）关于x=-
2008+a
2
轴对称
∴所有根的平均数是-
2008+a
2

∴-
2008+a
2
×2009=2009
即a=-2010
故答案为：-2010
点评：本题主要考查了方程的根的求解，解题的关键是利用了函数的对称轴，属于函数知识的综合应用
练习册系列答案
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已知函数f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2，x∈[-1，1]．
（1）当a=1时，求使f（x）=3的x的值；
（2）求f（x）的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）=2a2有解，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）=x2+x，若函数F（x）=f（x）-g（x）在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程F(x)+
5
2
x-m=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(
n+1
n
)＜
n+1
n2
都成立．
已知函数f（x）=log2
x-1x+1
，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）
（1）求函数f（x）的定义域；（2）试讨论h（x）的奇偶性；
（3）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不等实数根，求a的取值范围．
（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=
1+
4
x
， (x≥4)
log2x， (0＜x＜4)
，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是
（1，2）
（1，2）
．
定义在R上的非零偶函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈[0，+∞）都有f（x+y）=f（x）•f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）若f（1）=2，求f（-4）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）若关于x的方程f(x)=f(
a(x-1)x+1
)在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

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