Question

已知定义在R上的偶函数f（x）对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，则满足f（2x-1）＜f（

1

3

）的x 取值范围是

1

3

＜x＜

2

3

．

Answer 1

分析：根据偶函数的性质得，f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），由f（x）对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知：f（x）在[0，+∞）上单调递增，据单调性即可去掉不等式中的符号“f”．转化后解不等式即可求得所求的范围

解答：解：因为f（x）为偶函数，
所以f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），
又由f（x）对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以|2x-1|＜

1

3

，解得

1

3

＜x＜

2

3

．
故答案为：

1

3

＜x＜

2

3

．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性及其应用，属中档题，解决本题的关键是根据条件判断出函数的单调性，再由奇偶性把问题转为到区间[0，+∞）上解决．