Question

已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（1）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（2）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；
（3）求三棱锥M﹣OBC的体积．

Answer 1

解：（1）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM
所以MO
由AA′AK，得MOAA′
因为AKBD，AKBB′，
所以AK平面BDD′B′
所以AKBD′
所以MOBD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（2）取BB′中点N，连接MN，则MN平面BCC′B′
过点N作NHBC′于H，
连接MH则由三垂线定理得BC’MH
从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2
（3）易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=
V_M﹣OBC=V_{M﹣OA’D’}=V_{O﹣MA’D’}=S_{△MA’D’h}=