Question

【题目】已知函数.( )

（I）试确定函数的零点个数；

（II）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（I）函数的零点即方程的根，变形为，令，根据图像特征讨论即可；

（II）根据是函数的两个零点，得（），（），得 ，进而利用求范围即可.

试题解析：

解法1：（I）函数的零点即方程的根，

由得，令，

则，--------------------2分

由得，∴函数在单调递增，

由得，∴函数在上单调递减，----3分

∴当时，函数有最大值， ，

又当时， >0，当时；

当时>0， ，当时，

∴当时， 与只有一个公共点，从而函数有一个零点；

当时， 与有两个公共点，从而函数有两个零点．

（II）设由（I）知且，

由，得（）

由，得（）

∴ ，

∵∴， ，（两者仅当时取等号）

∴，又，

∴，

∴，

由得．

解法2：（I）∵， 不是函数的零点；

当时，由得，

设，则，所以在和上单调递减，

当且时， ；当时， ；

当且时， ；当时， ；

当时，由，有，

当时，有， ，

所以当时，曲线与只一个公共点，函数有一个零点；

当时，曲线与有两个公共点，函数有两个零点；

（II）不妨设，由（I）得，且， ，

由， ，得， ，

∴ ，

∵∴， ，（两者仅当时取等号）

∴，又，

∴，

∴，由得．